凱利公式完整攻略：2026 計算最佳下注比例的數學工具教學
你發現了一個正期望值的機會——比如運彩中一場賽事的賠率偏離了你分析的真實勝率。該下多少？下太少浪費機會，下太多可能爆倉。有沒有一個數學上的「最佳答案」？有。它叫凱利公式。
凱利公式（Kelly Criterion）由貝爾實驗室的 John Kelly Jr. 於 1956 年提出，最初用來解決電話線雜訊問題。後來被金融界和博弈界廣泛採用，成為計算最佳下注比例的標準工具。巴菲特的搭檔查理·芒格也多次提到凱利公式在投資中的應用。
重點摘要： 凱利公式 f* = (bp - q) / b，計算正 EV 情境下的最佳下注比例。勝率 60%、賠率 1:1 時建議下注資金的 20%。實務中使用半凱利（Half Kelly）降低波動風險。負 EV 遊戲中凱利公式的建議是「不要下注」。
凱利公式的起源與核心概念
核心問題
在正期望值的機會面前，下注多少才是最佳的？
- 下太多（Overbetting）：短期波動可能讓你破產
- 下太少（Underbetting）：浪費了正期望值的獲利潛力
- 凱利公式：找到兩者之間的數學最佳點
使用前提
必須存在正期望值。這是最重要的前提。在負期望值的賭場遊戲中，凱利公式的計算結果會是零或負數——意思是「不要下注」。
這也是為什麼凱利公式在運彩投注和投資領域比在賭場更有用。賭場遊戲幾乎都是負 EV，而運彩和投資中偶爾能找到正 EV 機會。
凱利公式推導與計算步驟
公式
f = (bp - q) / b*
| 變數 | 定義 |
|---|---|
| f* | 最佳下注比例（佔總資金的百分比） |
| b | 淨賠率（贏了能拿回多少倍，不含本金） |
| p | 勝率 |
| q | 敗率（= 1 - p） |
計算範例一：簡單賭局
勝率 60%、賠率 1:1（淨賠率 b = 1）。
f* = (1 × 0.60 - 0.40) / 1 = 0.20
凱利建議下注總資金的 20%。
計算範例二：運彩實戰
你分析某場足球賽主隊勝率為 55%，莊家開出的歐洲賠率是 2.20（淨賠率 b = 1.20）。
f* = (1.20 × 0.55 - 0.45) / 1.20 = (0.66 - 0.45) / 1.20 = 0.175
凱利建議下注資金的 17.5%。
凱利公式在博弈中的應用範例
運彩投注
運彩是凱利公式最常見的應用場景。當你的賽事分析認為某個結果的勝率高於莊家賠率隱含的機率時，就存在正 EV。此時凱利公式能幫你計算合理的下注金額。
但有一個前提：你的勝率估計必須準確。估計偏差會直接影響下注比例。如果你高估勝率，凱利公式會讓你下注過多。
21 點算牌21 點算牌者在 True Count 為正時，牌組對自己有利，存在正 EV。凱利公式用來根據 True Count 的大小調整下注金額：Count 越大，下注越多。但這只適用於實體賭場，線上每手洗牌的 21 點無法算牌。
撲克牌
在現金局中，凱利公式可以幫助你決定合適的買入金額（Bankroll Management）。在錦標賽中，可以用凱利思維管理籌碼——保守等待好機會，有利時加大投入。
半凱利與分數凱利：降低風險的變體策略
全凱利雖然理論上最優，但波動極大。我們來看實際數據：
| 策略 | 長期報酬（相對值） | 最大回撤風險 | 實際體驗 |
|---|---|---|---|
| 全凱利 | 100%（基準） | 高（可能 30-50%） | 雲霄飛車 |
| 半凱利 | 約 75% | 中等（15-25%） | 較穩定 |
| 1/4 凱利 | 約 50% | 低（10% 以內） | 很穩定 |
Google Sheets 凱利計算器
建一個簡單的計算器：
- B1：勝率（如 0.55）
- B2：淨賠率（如 1.20）
- B3：=（B2*B1-(1-B1))/B2
- B4：=B3/2（半凱利）
科學化的資金管理從凱利公式開始
學會凱利公式，用數學指引你的下注決策。
掌握凱利公式，用數學提升你的博弈策略
凱利公式是科學資金管理的核心工具。這個平台提供多款遊戲和完整的投注統計功能。
延伸閱讀
參考資料
- Kelly, J.L. “A New Interpretation of Information Rate”, Bell System Technical Journal, 1956
- Wizard of Odds（Wizard of Odds, 2024）
常見問題 FAQ
Q1: 凱利公式是什麼？怎麼計算最佳下注比例？
凱利公式（Kelly Criterion）是 1956 年由 John Larry Kelly Jr. 提出的最佳資金分配公式。公式為：f* = (bp - q) / b，其中 b 是淨賠率、p 是勝率、q 是敗率（1-p）。例如一個勝率 55%、賠率 1:1 的遊戲，凱利最佳下注比例 = (1 x 0.55 - 0.45) / 1 = 10%。
Q3: 凱利公式適用於賭場遊戲嗎？
大多數賭場遊戲不適用。凱利公式的前提是你有正期望值（EV > 0），但幾乎所有賭場遊戲的期望值都是負的。百家樂 EV = -1.06%、龍虎 -3.73%、輪盤 -2.70%，套入凱利公式的結果是「不下注」。凱利公式更適合有正期望值的場景，如職業撲克、體育博彩中發現的價值盤口。
Q3: 什麼是半凱利策略？為什麼推薦使用？
半凱利（Half Kelly）就是只下凱利公式計算結果的一半。原因是凱利公式假設你精確知道勝率和賠率，但實際中這些數字通常是估計值。半凱利用犧牲約 25% 的長期收益來換取波動降低 50%，是更保守但更安全的資金管理策略。巴菲特的合夥人芒格也曾引用凱利原則。
Q4: 凱利公式在投資理財上也能用嗎？
可以。凱利公式不只適用於博弈，在股票投資、期貨交易等領域也被廣泛應用。核心概念相同：根據你對勝率和報酬率的評估，計算最佳資金投入比例。但投資中的勝率和報酬率比博弈更難精確估計，所以實務上多使用半凱利或更保守的比例。